八年级数学勾股定理经典例题解析

学习啦  於宝   2019-12-04 12:09:06

  数学勾股定理是我们学习三角形应用的基础解题知识点,下面是小编给大家带来的八年级数学勾股定理经典例题解析,希望能够帮助到大家!

  八年级数学勾股定理经典例题解析

  经典例题透析

  类型一:勾股定理的直接用法

  1、在Rt△ABC中,∠C=90°

  (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a.

  思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。

  解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=

  (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

  (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=

  举一反三

  【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

  【答案】∵∠ACD=90°

  AD=13, CD=12

  ∴AC2 =AD2-CD2

  =132-122

  =25

  ∴AC=5

  又∵∠ABC=90°且BC=3

  ∴由勾股定理可得

  AB2=AC2-BC2

  =52-32

  =16

  ∴AB= 4

  ∴AB的长是4.

  类型二:勾股定理的构造应用

  2、如图,已知:在 中, , , . 求:BC的长.

  思路点拨:由条件 ,想到构造含 角的直角三角形,为此作 于D,则有

  , ,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.

  解析:作 于D,则因 ,

  ∴ ( 的两个锐角互余)

  ∴ (在 中,如果一个锐角等于 ,

  那么它所对的直角边等于斜边的一半).

  根据勾股定理,在 中,

  .

  根据勾股定理,在 中,

  .

  ∴ .

  举一反三【变式1】如图,已知: , , 于P. 求证: .

  解析:连结BM,根据勾股定理,在 中,

  .

  而在 中,则根据勾股定理有

  .

  ∴

  又∵ (已知),

  ∴ .

  在 中,根据勾股定理有

  ,

  ∴ .

  【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

  分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

  解析:延长AD、BC交于E。

  ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。

  ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

  ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= = 。

  ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= = 。

  ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=

  类型三:勾股定理的实际应用

  (一)用勾股定理求两点之间的距离问题

  3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

  (1)求A、C两点之间的距离。

  (2)确定目的地C在营地A的什么方向。

  解析:(1)过B点作BE//AD

  ∴∠DAB=∠ABE=60°

  ∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

  ∴∠CBA=90°

  即△ABC为直角三角形

  由已知可得:BC=500m,AB=

  由勾股定理可得:

  所以

  (2)在Rt△ABC中,

  ∵BC=500m,AC=1000m

  ∴∠CAB=30°

  ∵∠DAB=60°

  ∴∠DAC=30°

  即点C在点A的北偏东30°的方向

  举一反三

  【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

  【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H.

  解:OC=1米 (大门宽度一半),

  OD=0.8米 (卡车宽度一半)

  在Rt△OCD中,由勾股定理得:

  CD= = =0.6米,

  CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

  因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.

  (二)用勾股定理求最短问题

  4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

  思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.

  解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

  AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3

  图(3)中,在Rt△ABC中

  同理

  ∴图(3)中的路线长为

  图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH

  由∠FBH= 及勾股定理得:

  EA=ED=FB=FC=

  ∴EF=1-2FH=1-

  ∴此图中总线路的长为4EA+EF=

  3>2.828>2.732

  ∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.

  举一反三

  【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

  解:

  如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得

  (提问:勾股定理)

  ∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

  答:最短路程约为10.77cm.

  类型四:利用勾股定理作长为 的线段

  5、作长为 、 、 的线段。

  思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于 ,直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ,类似地可作 。

  作法:如图所示

  (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;

  (2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;

  (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、 的长度就是

  、 、 、 。

  举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。

  解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, ,

  为了有利于画图让其他两边的长为整数,

  而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

  作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

  以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为 。

  类型五:逆命题与勾股定理逆定理

  6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

  1.原命题:猫有四只脚.(正确)

  2.原命题:对顶角相等(正确)

  3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)

  4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)

  思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。

  解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确)

  2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确)

  3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确)

  4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)

  总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

  7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。

  思路点拨:要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。

  解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :

  a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

  ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

  ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

  ∴ a=3,b=4,c=5。

  ∵ 32+42=52,

  ∴ a2+b2=c2。

  由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

  总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

  举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

  【答案】:连结AC

  ∵∠B=90°,AB=3,BC=4

  ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

  ∴AC=5

  ∵AC2+CD2=169,AD2=169

  ∴AC2+CD2=AD2

  ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

  【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.

  分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可

  证明:

  所以△ABC是直角三角形.

  【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF= AB。

  请问FE与DE是否垂直?请说明。

  【答案】答:DE⊥EF。

  证明:设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,

  ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

  DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

  连接DF(如图)

  DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

  ∴ DF2=EF2+DE2,

  ∴ FE⊥DE。

  经典例题精析

  类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法

  1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。

  思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。

  解析:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:

  (3x)2+(4x)2=202

  化简得x2=16;

  ∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96

  总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。

  举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。

  【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D

  则:BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

  ∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

  ∴BD=1

  在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:AD2=AB2-BD2=4-1=3

  ∴AD=

  S△ABC= BC•AD=

  注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为 a。

  【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。

  【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得:

  由(1)得:x+y=7,

  (x+y)2=49,x2+2xy+y2=49 (3)

  (3)-(2),得:xy=12

  ∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)

  【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。

  思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。

  解:此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:

  (n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

  化简得:n2=4

  ∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2

  总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。

  【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )

  A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40

  解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,

  对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

  例如:对于选择D,

  ∵82≠(40+39)×(40-39),

  ∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。

  同理可以判断其它选项。 【答案】:A

  【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

  解:连结AC

  ∵∠B=90°,AB=3,BC=4

  ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

  ∴AC=5

  ∵AC2+CD2=169,AD2=169

  ∴AC2+CD2=AD2

  ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

  ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36

  类型二:勾股定理的应用

  2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?

  思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。

  解析:作AB⊥MN,垂足为B。

  在 RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°, AP=160,

  ∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)

  ∵点 A到直线MN的距离小于100m,

  ∴这所中学会受到噪声的影响。

  如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学?际艿接跋,那么AC=100(m),

  由勾股定理得: BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

  同理,拖拉机行驶到点D处学?纪牙胗跋,那么,AD=100(m),BD=60(m),

  ∴CD=120(m)。

  拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s

  t=120m÷5m/s=24s。

  答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学;崾艿皆肷跋,学校受影响的时间为24秒。

  总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

  举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。

  解析:他们原来走的路为3+4=7(m)

  设走“捷径”的路长为xm,则

  故少走的路长为7-5=2(m)

  又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路!敬鸢浮4

  【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。

  (1)直接写出单位正三角形的高与面积。

  (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?

  (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。

  【答案】(1)单位正三角形的高为 ,面积是 。

  (2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积 。

  (3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中, ,

  ,故

  类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法

  我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.

  3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

  思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.

  解:连接AD.

  因为∠BAC=90°,AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线,

  所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

  且∠BAD=∠C=45°.

  因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.

  所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

  所以AE=FC=5.

  同理:AF=BE=12.

  在Rt△AEF中,根据勾股定理得:

  ,所以EF=13。

  总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

  (二)方程的思想方法

  4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°, ,求 、 、 的值。

  思路点拨:由 ,再找出 、 的关系即可求出 和 的值。

  解:在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,

  则 ,由勾股定理,得 。

  因为 ,所以 ,

  , , 。

  总结升华:在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

  举一反三:【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。

  解:因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。

  因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,

  在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,

  所以 。 所以 。

  设 ,则 。

  在Rt△ECF中, ,即 ,解得 。

  即EF的长为5cm。


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